פרסם תגובה פרסם נושא חדש עמוד 1 מתוך 3   [ 25 הודעות ]
עבור לעמוד 1, 2, 3  הבא
מחבר הודעה
 נושא ההודעה: פטפוטי פטיפון - פרק שישי
הודעהפורסם: 29/06/11 21:32 
חבר האתר

סמל אישי של המשתמש

הצטרף:
06/10/08 19:46

הודעות: 3495

פרק שישי



תמונה


שלום לכולם, הפרק של היום קצת יותר מסובך, אבל עם קצת ריכוז אפשר לצלוח אותו, וללמוד דברים חשובים ומעניינים. אז ללא הקדמה מיותרת... מתחילים:

בפטפוט שעבר בחנו מקרה פשוט מאד – של גוף שהכוח היחיד שפועל עליו מופעל ע"י קפיץ (או כל מנגנון אחר שיכול להיות מתואר ע"י המשוואה F=-kx). כעת נביט על אותה מערכת, רק נוסיף אלמנט נוסף: חיכוך בין הגוף לרצפה.

ניזכר במערכת שלנו:

תמונה


ישנם מספר סוגים של חיכוך, אבל אנחנו נתייחס למקרה הפשוט של חיכוך Coulomb. גוף שנע על מישור עם חיכוך מסוג זה, יפעל עליו כוח שיהיה תמיד מנוגד לכוון התנועה, ועוצמתו פרופורציונאלית למהירות הגוף.
חשוב מאד לשים לב להבדל בין כוח החיכוך לכוח שהקפיץ מפעיל:
1) כוון הכוח של הקפיץ תלוי במיקום הגוף בעוד שכוון כוח החיכוך תלוי בכוון התנועה של הגוף.
2) בעוד שעוצמת הכוח שמפעיל הקפיץ פרופורציונאלית למרחק הגוף מנקודת האמצע, עוצמתו של כוח החיכוך במודל שלנו, פרופורציונאלית למהירות הגוף.
שני הכוחות הללו שפועלים על הגוף מתנהגים בצורה שונה לחלוטין אם כן – והשרטוט הבא מנסה לתאר זאת בצורה יותר ברורה:
החץ הכחול הוא כוון התנועה, החץ הירוק – כוח החיכוך, החץ האדום – כוח הקפיץ.

תמונה


> בקצוות ( A ו- E) אלה הנקודות שהגוף משנה כוון – כלומר ממש בקצה המהירות היא 0 ולכן אין כוח חיכוך בכלל. מאידך אלה הנקודות הרחוקות ביותר מהמרכז ולכן כוח הקפיץ מקסימלי (וכיוונו תמיד למרכז, כמובן)
>בנקודת האמצע (C ו- G) המהירות היא הגבוהה ביותר – לכן כוח החיכוך מקסימלי ותמיד מנוגד לכוון התנועה. מאידך, המרחק מהמרכז הוא 0 ולכן הקפיץ לא מפעיל שום כוח על הגוף.
> בנקודות הביניים (B, D ו- F) כוח החיכוך יהיה קטן מבאמצע – וכיוונו תמיד נגד כוון התנועה. כוח הקפיץ יהיה קטן מבקצוות וכיוונו תמיד אל המרכז.

המשוואה שמתארת את התנועה הזו היא:

תמונה


F הוא הכוח שמופעל על הגוף ולכוח kx נוסף הכוח cv שגם סימנו מינוס (פועל נגד כיוון התנועה). v הוא מהירות הגוף ו- c הוא מספר קבוע שנקרא מקדם החיכוך. ככל שהרצפה "מחוספסת" יותר לצורך העניין מקדם החיכוך גבוה יותר וכוח החיכוך גבוה יותר.

הבדל חשוב אחרון בין כוח החיכוך לכוח הקפיץ, הוא שפעולת החיכוך גורמת לאיבוד אנרגייה במערכת, בניגוד לכוח שהקפיץ מפעיל. מבחינה מתמטית הדבר נובע מהתלות ב v, המהירות, בניגוד לתלות ב x, ההיסט של הקפיץ – אבל נעזוב את זה. ברמה הפיזיקאלית (והאינטואיטיבית יותר) חיכוך הגוף ברצפה גורם להתחממות, והחום שמתפזר לאויר העולם הוא בעצם אנרגייה ש"יוצאת" מהמערכת שלנו. הפועל היוצא הוא שבמערכת כזו, כיון שכל עוד הגוף נע בורחת אנרגיה מהמערכת, המערכת בסוף תיעצר ולא תנוע יותר.

לסיכומו של דבר, על הגוף שלנו פועלים שני כוחות. ראשון הוא כוח הקפיץ ששואף כל הזמן להביא את הגוף לאמצע אבל כביכול כל פעם "מפספס" את האמצע (כי הוא מגיע לשם בשיא המהירות)–אז יוצא שהוא מנסה להזיז את הגוף כל הזמן מצד לצד. השני הוא כוח החיכוך שכל מה שבראש שלו זה לעצור את הגוף. שני הכוחות הללו מתחרים זה בזה כל הזמן.

אז איך תכלס מתנהג גוף כזה עם שני כוחות כאלה שפועלים עליו? ברור שגם עכשיו יתנודד מצד לצד – אבל מן הסתם התנודות ילכו ויקטנו עד שהגוף יעצר במרכז (מאותה הסיבה שציינתי למעלה). גם הפתרון המתמטי של המשוואה יתן את התוצאה הזו כמובן (המתמטיקה לא משקרת). אלא שעכשיו, תדר התנודות יהיה מעט שונה מבמקרה הראשון (כל עוד יתקיימו תנודות כמובן)

תמונה


נוסחאת התדר כעת תהיהקצת יותר מסובכת. זוכרים את f0? זהו התדר שהמערכת תתנודד בו כשאין חיכוך. יש לו שם: הוא נקרא ה Undamped Frequency של המערכת – כלומר התדר הבלתי משוכך (או בלתי מרוסן) של המערכת. כפי שכבר ציינו, זוהי תכונה של המערכת ולא של איזה כוחות מפעילים עליה ובהנתן k של הקפיץ ומסת הגוף אנחנו יודעים לחשב אותו.

עכשיו: מן הידועות הוא שלפיזיקאים אין חיים, ולכן, כשממש מצ'עמם להם הם ממציאים כל מיני הגדרות עם נוסחאות מופלצות. במקרה שלנו, החליטו להמציא גודל שנקרא Damping Ratio (יחס השיכוך, או יחס הריסון). מסמנים אותו באות היוונית zeta. המספר הזה נותן אינדיקציה לגבי היחס בין כוח החיכוך לכוח הקפיץ במערכת שלנו:

תמונה


שימו לב – ככל ש c, מקדם החיכוך גדל, יחס השיכוך גדל גם. לעומת זה ככל ש k, מידת הקשיחות של הקפיץ גדלה, יחס השיכוך קטן.
עכשיו כשהכרנו את יחס השיכוך, נלמד שתדר התנודות החדש יהיה:

תמונה


f0 כזכור – התדר הלא משוכך של המערכת, ו zeta הוא יחס השיכוך. קל לראות מהנוסחאות, שככל שהחיכוך גבוה יותר, יחס השיכוך גבוה יותר ואז התדר נמוך יותר. ניתן גם לראות מהנוסחא שאם אין חיכוך, יחס השיכוך הוא 0, ואז נוסחאת התדר מתנוונת ל f1=f0.
f1 הוא התדר המשוכך הטבעי של המערכת, אך שימו לב! באופן לא אינטואיטיבי כ"כ (לי לפחות) f1 אינו תדר התהודה של מערכת משוככת. מהו תדר התהודה במערכת משוככת, בפרק הבא.

בואו נחזור לדוגמא המספרית שלנו מפעם שעברה: היה לנו k=50, היתה לנו מסה של חצי קילו – וקיבלנו תנודות של 1.6 הרץ (f0, התדר הלא משוכך של המערכת). כעת נוסיף מקדם חיכוך c=8. נחשב קודם את יחס השיכוך שלנו:

תמונה


וכעת, תדר התנודות:

תמונה


כלומר – תדר התנודות יהיה 0.96 הרץ.

בואו ננסה דוגמא נוספת: נעלה את החיכוך מעט, נאמר, c=12. נחשב שוב את יחס השיכוך:

תמונה


והתדר:

תמונה


הופה, בעייה! מסתבר, שכאשר יחס השיכוך zeta גדול מ 1, הנוסחא חסרת משמעות כיון שאנו נתקלים בשורש של מספר שלילי.

ציינתי כבר בעבר שמה שיפה במתמטיקה, זה שהיא לא משקרת, נכון? מה היא אם כן משמעות הדבר שכאשר יחס השיכוך גדול מאחד, לא ניתן לחשב את תדר התנודות? על כך נענה עוד מעט. מה שכבר ברור הוא שלא סתם המציאו את הגודל הזה, zeta, עם הנוסחא המוזרה שלו. כנראה שיש לו משמעות מיוחדת...

כפי שציינו כבר, הפתרון המתמטי לא נותן רק את תנודות התדר חדש f1, אלא גם מראה שהתנודות הולכות וקטנות עד שהגוף מתייצב בנקודת האמצע. כמה מהר הגוף יעצר? זה תלוי כמובן במידת החיכוך שלנו. ככל שהחיכוך גבוה יותר, הגוף יעצר מהר יותר.

אבל... מה קורה אם החיכוך מאד גבוה? במקרה זה, התדר קטן מאד, כלומר הזמן שלוקח להשלים תנודה אחת מאד ארוך, ומאידך הגוף שלנו גם יגיע לעצירה מהר מאד. התוצאה: הגוף שלנו לא יתנודד כלל – הוא פשוט יחליק לאיטו ויעצר בנקודת האמצע. ואם נגדיל את החיכוך אף יותר? הגוף יחליק אפילו יותר לאט ושוב יעצר בנקודת האמצע. את כל זה אנחנו מבינים בצורה אינטואיטיבית ולא צריך שום נוסחאות.

אם כן, זוהי הסיבה שכאשר החיכוך גבוה מספיק יחסית לכוח הקפיץ – נוסחאת התדר הופכת ללא רלוונטית – פשוט לא יהיו תנודות, ולכן לא ניתן להגדיר את תדר התנועה.

מבט על התוצאה המתמטית המלאה מספר לנו את הסיפור הבא, וזהו המסר העיקרי של הפרק הנוכחי:

> במערכת בה יחס השיכוך zeta=0 (מערכת ללא חיכוך) הגוף ימשיך להתנודד ולא יעצור לעולם. מערכת כזו נקראת Undamped.
> במערכת בה יחס השיכוך zeta>0 אבל zeta<1 הגוף יתנודד לפני שיעצר. מערכת כזו נקראת Underdamped.
> במערכת בה יחס השיכוך zeta=1 הגוף יגיע הכי מהר שאפשר לנקודת האמצע מבלי להתנודד כלל. מערכת זו נקראת Critically Damped.
> במערכת בה יחס השיכוך zeta>1 הגוף יגיע יותר לאט לנקודת האמצע ולא יתנודד כלל. זו מערכת שהיא Overdamped.


הנה גרף שמראה איך נראים ארבעת המקרים שלנו על ציר הזמן:

תמונה


ואפילו יותר טוב – אפלט שאפשר לשחק בו עם שלושת הפרמטרים (m,k,c) ולראות מה קורה (במקום c משתמשים שם ב b אבל זה אותו דבר):

http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/ap ... mped/d.htm


מי שהחזיק מעמד עד עכשיו – כל הכבוד. בהמשך נלמד איך כל זה נוגע לפטיפון...אבל כבר עכשיו כדאי להגיד שהבנה של סוגי המערכות הנ"ל תורמת גם לגבי מה שקורה במגבר למשל. כן – גם מעגל חשמלי מתנהג בצורה דומה.

כאשר מכניסים מוזיקה למגבר בצד אחד אנו רוצים שהיא תצא בדיוק אותו דבר בצד שני, רק מוגברת. אבל אם יצרנו מעגל חשמלי שהוא Underdamped, כל פעם שיהיה שינוי פתאומי במוזיקה בכניסה, ביציאת המגבר תתוסף מין התנדנדות כזו לפני שיתייצב. ההתנדנדות הזאת נקראת Ringing. רק אחרי ה Overshootהזה המגבר יתייצב שוב כפי שנראה בשרטוט למטה. הקו השחור מראה את הכניסה למגבר – סיגנל כזה נקרא פונקציית מדרגה: העוצמה קופצת בבת אחת למעלה ונשארת כך. הקו הצבעוני מראה מוצא של מגבר שהוא Underdamped:

תמונה


לעומת זאת, אם המגבר הוא Overdamped, האות במוצא לא יצליח להשתנות מהר כמו האות בכניסה, כמו בשרטוט הבא. מגבר כזה יהיה איטי ומרוח.

תמונה


אחת מהמטרות הבסיסיות בבניית מעגל הגברה אם כן היא לגרום לו להיות Critically Damped. הדבר יבטיח את התגובה המהירה ביותר ללא Ringing.

תמונה


רגע לפני שמתככני המגברים קופצים: כן, אני יודע שזו אמירה מאד כללית, שהיא לא תמיד נכונה ושזו הפשטה פושעת – אבל זה מספיק כדי להעביר את העקרון, אז בואו נשאיר את זה כך, טוב? :)

לסיום הפרק, נתייחס לפוסט הגרניט של נועם שוב (http://www.hifimusic.co.il/Tweak-Living-voice-p76091.html#p76091)

נועם הפנה למאמר בו נכתב כך:
While it may seem difficult to induce vibrations in a block weighing thousands of pounds, granite cannot match the dynamic rigidity (the ability to damp, or resist the deformation that results from internal and external vibrational inputs) of a far lighter damped steel-honeycomb construction. Mass that does not contribute to stiffness only decreases the resonant frequencies of a structure, thus increasing displacements. Granite blocks subjected to vibrations have pronounced resonance peaks. Also, as the internal damping of granite is low, the material continues to vibrate, or 'ring', long after the stimulus ceases. These micron-scale motions reduce the accuracy, precision and repeatability of critical experiments.


ואני אף הוספתי וכתבתי לו:

אם תיקח קפיץ (אידאלי) שנע ללא חיכוך ותמתח ותעזוב - הוא יתנודד לעד. ככל שהקפיץ קשיח יותר יקרו שני דברים: ראשית תדר התנודות יהיה גבוה יותר ושנית, תצטרך להפעיל יותר כוח כדי למתוח אותו. המקבילה במוצקים היא ה RIGIDITY או ה STIFFNESS של הגוף המוצק (שתלוי במודולוס יאנג של החומר ובצורה של הגוף המדובר). מה שמאפין את הכוחות הפועלים פה שהם פרופורציונאליים למידת התזוזה בתוך החומר (היסט), ואין פה איבוד אנרגייה.
לעומת זאת, אם תוסיף חיכוך למערכת (שהוא כוח שתלוי במהירות, ולא בהיסט ותמיד מנוגד לכיוון התנועה) - האנרגייה תהפך עם הזמן לחום ותעלם...הקפיץ יעצור אחרי מספר תנודות. זה מה שנקרא DAMPING. במוצקים - השיכוך הפנימי (שנובע ממספר סיבות) הוא המקבילה.

לגרניט יש את התכונה הראשונה, ולכן אם תיתן לו מכה, הויברציות יהיו קטנות ומהירות, אבל אין לו את השנייה - ולכן הן ימשכו זמן רב.


אין לי ספק שלא הרבה הבינו מה קשקשתי שם – כי ישר קפצתי למים עמוקים בלי הכנה. כולי תקווה שכעת העניין קצת יותר ברור – שכן אותו בלוק גרניט משול למסה שמחוברת לקפיץ ממש ממש קשיח (נגיד k של 6 ספרות, ואפילו יותר). השאר – בדיוק כמו שלמדנו. האבחנה בין Stiffness שמקשה ליצור תנודות גדולות במערכת (k גבוה) לבין Damping שגורם לדעיכה מהירה של התנודות (c גבוה) דומה בדיוק למה שלמדנו היום.

תמונה


או, אני שומע את הצלצול, מספיק להפעם. נמשיך אחרי ההפסקה :)
אייל

_________________
תנו לייק, בחייאת:
http://www.youtube.com/watch?v=n5fpamNooIo
האיש הכי חרמן על סקרצואים בעולם!!


חזור למעלה
 פרופיל אישי הסטאפ שלי  
 
 נושא ההודעה: Re: פטפוטי פטיפון - פרק שישי
הודעהפורסם: 29/06/11 22:07 
חבר האתר

סמל אישי של המשתמש

הצטרף:
13/09/08 21:54

הודעות: 8493
Dana 44 מכיר ;)
מבטיח לקרוא מסודר, צריך :coffee: כפול לפני.
תודה


חזור למעלה
 פרופיל אישי  
 
 נושא ההודעה: Re: פטפוטי פטיפון - פרק שישי
הודעהפורסם: 29/06/11 23:08 
חבר האתר


הצטרף:
03/04/09 03:35

הודעות: 5122
מה אני אגיד לכם על האייל הזה, גם חכם, גם מסביר יפה וגם...לא פחות חשוב...מילה שלו היא מילה

ציטוט:
צר לי נועם, אבל אני לא מסכים עם מה שידידנו הפסל כתב. לא RIGIDITY ולא MASS גורמים ל DAMPING למיטב הבנתי. אבל תצטרך לחכות מממ... 3-4 פטפוטי פטיפון נוספים כדי לקבל יותר פרטים לגבי מה אני חושב על כך :)


(Y) (Y)


חזור למעלה
 פרופיל אישי הסטאפ שלי  
 
 נושא ההודעה: Re: פטפוטי פטיפון - פרק שישי
הודעהפורסם: 30/06/11 02:19 
חבר האתר


הצטרף:
16/09/09 00:52

הודעות: 5170
מיקום: תל מונד
תודה. (F)
מעניין מאד (לפחות, אותי זה מעניין).
הערה שולית:
האמור לגבי השיכוך במעגלי מגברים, נכון בעיקר למגברים במישור הדיגיטאלי, שם הגל הוא ריבועי. במעגלים אנלוגיים, כל עוד המעגל יציב ואינו מתנדנד מעצמו, התופעה אינה מוכרת (לי, לפחות, היא אינה מוכרת).

_________________
בברכה,
יהושע גומא


חזור למעלה
 פרופיל אישי הסטאפ שלי  
 
 נושא ההודעה: Re: פטפוטי פטיפון - פרק שישי
הודעהפורסם: 30/06/11 02:28 
חבר האתר

סמל אישי של המשתמש

הצטרף:
01/09/08 15:14

הודעות: 32381
אייל, רב תודות!
בחיים לא הייתי מנחש שנגיע לכזאת העשרה תוך כדי סדרה על פטיפונים. מגניב (F)

_________________
ביוגרפיות , עם קלאסי ואלגנטי , פשוט לא הולכים לעבוד.
I have been supported from the bottom of my heart
בוכה דה פלורסנט


חזור למעלה
 פרופיל אישי הסטאפ שלי  
 
 נושא ההודעה: Re: פטפוטי פטיפון - פרק שישי
הודעהפורסם: 30/06/11 07:51 
חבר האתר

סמל אישי של המשתמש

הצטרף:
01/09/08 16:05

הודעות: 7313
אחלה, תודה (Y)


חזור למעלה
 פרופיל אישי  
 
 נושא ההודעה: Re: פטפוטי פטיפון - פרק שישי
הודעהפורסם: 30/06/11 08:07 
חבר האתר

סמל אישי של המשתמש

הצטרף:
04/09/08 14:27

הודעות: 9273
מעולה, מרתק ומעשיר (Y)

_________________
Jazz washes away the dust of everyday life.” - Art Blakey"
"הכל סופר ונשמר תויק ודווח"


חזור למעלה
 פרופיל אישי  
 
 נושא ההודעה: Re: פטפוטי פטיפון - פרק שישי
הודעהפורסם: 30/06/11 09:41 
עוסק בתחום

עוסק בתחום
סמל אישי של המשתמש

הצטרף:
26/09/08 21:35

הודעות: 17555
"טירוף בשחקים"
שיחוק המאה
שתיקת הכבישים.

(F)

_________________
אביעד בריד - "Byrdio"
יבוא;
CH Precision, J.Sikora, DS Audio, Koetsu, Etsuro Urushi, Top Wing, Arte Forma, torqueo-audio


חזור למעלה
 פרופיל אישי  
 
 נושא ההודעה: Re: פטפוטי פטיפון - פרק שישי
הודעהפורסם: 30/06/11 10:18 
חבר האתר

סמל אישי של המשתמש

הצטרף:
06/10/08 19:46

הודעות: 3495
zy כתב:
Dana 44 מכיר ;)
מבטיח לקרוא מסודר, צריך :coffee: כפול לפני.
תודה


טריק זול למשוך קוראים... ספר בסוף איך הלך (Y)

_________________
תנו לייק, בחייאת:
http://www.youtube.com/watch?v=n5fpamNooIo
האיש הכי חרמן על סקרצואים בעולם!!


חזור למעלה
 פרופיל אישי הסטאפ שלי  
 
 נושא ההודעה: Re: פטפוטי פטיפון - פרק שישי
הודעהפורסם: 30/06/11 10:22 
חבר האתר

סמל אישי של המשתמש

הצטרף:
06/10/08 19:46

הודעות: 3495
byrdparis כתב:
"טירוף בשחקים"
שיחוק המאה
שתיקת הכבישים.

(F)


תנודת הקפיצים!

לכולם:
תודה למברכים,
סליחה למסתבכים.

אייל (גם יפה גם אופה) 2991

_________________
תנו לייק, בחייאת:
http://www.youtube.com/watch?v=n5fpamNooIo
האיש הכי חרמן על סקרצואים בעולם!!


חזור למעלה
 פרופיל אישי הסטאפ שלי  
 

פרסם תגובה פרסם נושא חדש עמוד 1 מתוך 3   [ 25 הודעות ]
עבור ל:  
עבור לעמוד 1, 2, 3  הבא

הצג הודעות החל מה:  מיין לפי  



חפש:

hifimusic
אודות
תנאי שימוש
צור קשר
אוהבים את
hifimusic?
סקירות אודיו
הכל
הגברה
רמקולים
מקורות
אחר
סקירות מוזיקה
הכל
קלאסי
ג'אז
פופ/רוק/אלטרנטיבי
עולם/ישראלי/אחר
קישורים
מותגים על פי שם
מותגים על פי יבואן
מומלצים
הפורום
הרשם
לוח בקרה
הודעות אחרונות